≪episode 8: 線香花火の数式（第1回・火花の形）≫

こんにちは．井上智博です．

複雑に見える現象を理解したとき，その現象を簡潔に説明できます．逆に，簡潔に，しかも，いくつかの方法で説明できる事象が，自分が分かったと言えることでもあります．簡潔な説明の代表例は数式です．なぜなら，数式にはそれ自身が持つ意味の他に解釈の余地がないからです．

過去7回の連載を通して，線香花火の不思議が少しずつ明らかになりました．今回は，線香花火の火花の形が決まる仕組みを，順を追って定式化したいと思います．

線香花火の火花は，なぜあの形なのでしょう？いろいろな可能性が考えられます．黒色火薬が燃えるから？硝酸カリウムが少ないから？温度が上がるから？周りに酸素があるから？泡が弾けるから？etc．もし，火花模様を数式で表すことができれば，本質的に重要な要素が何かを明確にできるでしょう．同時に，関係しているけれども重要度が低い要素が何かを理解できます．

まず，紙縒りの下端にできる半径　R　[メートル(m)]の火球が，すべての火花の起点になります．火球の質量をm [キログラム(kg)]，重力加速度をg ~ 10 m/s²とすると，火球は重力によってF_g = mg [ニュートン(N)]の力で下向きに引っ張られています．密度r [kg/m³]を使って質量mを表せるので，F_gを次式で書けます．

　(式1)

重力に対抗して火球を上向きに吊り上げる力が表面張力です．紙縒りと火球の接続部は円形断面で，その縁（円周）に表面張力F_s が働きます．1mあたりの表面張力の大きさを表す表面張力係数をs [N/m]，紙縒りの半径をa ~ 1mmとすれば，

   (式2)

を得ます．ここで，点火後の火球の成分が，主にカリウム化合物であることから，s ~ 0.1 N/mになります（水の場合s = 0.07 N/mです）．火球は，紙縒りの下端に静止しているので，F_g =F_sが成り立つことを利用して，火球の大きさを計算できます．

 (式3)

この計算結果は，火球半径が数ミリになることを主張しています．実際の火球半径が2~3mmである事実とよく一致するので，火球のサイズは，重力と表面張力のバランスで決まることが分かりました．太い紙縒りで線香花火を作れば，より大きな火球ができると期待されます．しかし，大き過ぎる火球は，十分に温度が上がらないのが問題です．

半径2~3mmの火球の表面には泡が発生し，泡が弾けることで，火花である小さな液滴が飛び出します（第5回）．泡の半径はb ~ 0.4 mm程度で，飛び出す液滴の半径はR₀ ~ 0.1 mmです．いま，泡が弾けて飛び出す火花の速度をu [メートル毎秒：m/s]としましょう．火花の速度は，泡のサイズbを，泡が弾けるのにかかる時間t_s [秒(s)]で割った値になると予想できます（距離を時間で割れば速度になる）．時間t_sは，火球の密度と表面張力係数を用いて，t_s ~ (rb³/s)^0.5と書けます．すると，火花の速度が分かります．

   (式4)

線香花火の火花は，約1m/sで火球から飛び出します（実際に測ってみてもこの値は正しい）．

火花はしばらく飛行した後，弾けて枝分かれします．火球を飛び出してから最初に弾けるまでの時間t_a [s]は，何によって決まるのでしょう．ここでは仮に，火花が十分温まるまでの時間としましょう（第7回参照）．すると，火花が温まるのに必要な時間を決める定数a ~ 10^-6 m²/sを使って，t_a ~ R₀²/a となります．具体的な値を計算すると，火球から飛び出した火花（R₀ ~ 0.1 mm）について，t_a ~ 0.01秒となり，こちらも高速度カメラを使った計測結果とよく一致します．つまり，火花は十分に温まると破裂する，と言う仮説が正しいことが分かりました．

速度と時間を掛ければ距離が分かります．火球を飛び出した火花の飛行距離l [m]は，

  (式5)

と求まりました．つまり，火花は火球から数センチ（=数十ミリ）のところまで到達します．これは私たちの感覚とよく一致しているのではないでしょうか．たしかに，火球を飛び出した火花が数ミリしか達しないのは短すぎますし，50cmも飛ぶような線香花火の火花は見たことがありません．

以上の計算式とその妥当性から，線香花火の火花の形状には，火花が温まる時間（熱伝導）と，泡が弾ける時間（表面張力）が重要であることが分かりました．つまり，線香花火があの独特の美しい形になるのは，液滴が温まって弾けるから，ということが分かりました．数式を使うことで，複雑な現象を見通しよく理解できました．

今回は，最も単純な場合として，火球を飛び出す最初の火花について考えました．もちろん，弾けた後の火花についても同様に定式化が可能です．等比級数の和の公式について知識があれば，全ての火花の到達距離を計算できます．それには，火花が1回弾けると，液滴の半径が約0.5倍に小さくなる，という計測結果を使って下さい（公比が1未満の等比数列の和に帰結されます）．

 

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『線香花火の科学』目次

■ episode 1: はじめに

■ episode 2: 研究の歴史（第1回）

■ episode 3: 研究の歴史（第2回）

■ episode 4: 高速度可視化概要

■ episode 5: 火花が飛び出す仕組み

■ episode 6: 火花が枝分かれする仕組み

■ episode 7: 儚い色味の仕組み

■ episode 8: 線香花火の数式（第1回）

□ episode 9: 線香花火の数式（第2回）

□ episode10: おわりに

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